Question

已知a＞0，函数f(x)＝ax－bx²．

(1)当b＞0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤2；

(2)当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2；

(3)当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件．

Answer 1

答案：
解析：

解答　　(1)证明：依题设，对任意x∈R，都有f(x)≤1， 　　∵f(x)＝－b(x－)2＋， 　　∴f()＝≤1． 　　∵a＞0，b＞0，∴a≤2 　　(2)证明：必要性：对任意x∈[0，1]， 　　|f(x)|≤1－1≤f(x)， 　　据此可以推出－1≤f(1)， 　　即a－b≥－1．∴a≥b－1． 　　对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1f(x)≤1，因为b＞1，可以推出f()≤1， 　　即a·－1≤1．∴a≤2．∴b－1≤a≤2． 　　充分性：因为b＞1，a≥b－1， 　　对任意x∈[0，1]，可以推出 　　ax－bx2≥b(x－x2)－x≥－x≥－1， 　　即ax－bx2≥－1． 　　因为b＞1，a≤2，对任意x∈[0，1]，可以推出 　　ax－bx2≤2x－bx2≤1， 　　即ax－bx2≤1．∴－1≤f(x)≤1． 　　综上，当b＞1时，对任意x∈[0，1]|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2； 　　(3)解：因为a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈[0，1] 　　有由条件|f(u)－f(v)|＜|u－v|，u，v∈[0，]，得 　　|f()|＝|f()－f(0)|＜．② 　　①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在． 　　评析　　本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析解决问题的能力．