Question

设数列{a_n}前n项和为S_n，若a₁=1，Sn=nan-

3

2

n(n-1)．n=1，2，3，…
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若bn=

1

anan+1

，数列{b_n}前n项和为T_n，证明：

1

4

≤Tn＜

1

3

．
（3）是否存在自然数n，使S1+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

=63．若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知S_n，利用a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求a_n
（2）由（1）知bn=

1

(3n-2)(3n+1)

 =

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

），利用裂项求和可得Tn=

n

3n+1

=

1

3

(1-

1

3n+1

)，结合数列的单调性可知答案，
（3）存在性问题，假设存在符合条件的n，由（1）知Sn=

3n2

2

-

n

2

 ，

Sn

n

=

3n

2

-

1

2

，

s1

1

+

s2

2

+…+

Sn

n

=

3n2+n

4

若

S1

1

+

S2

2

+…+ 

Sn

n

= 63，即63

3n2+n

4

=63，解得n的值．

解答：解：（1）当n≥2时，Sn-1=(n-1)an-1-

3

2

(n-1)(n-2)
∵an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-

3

2

n(n-1)+

3

2

(n-1)(n-2)
∵(n-1)an-(n-1)an-1-

3

2

(n-1)[n-(n-2)]=0
∴（n-1）a_n-（n-1）a_n-1-3（n-1）=0
∵a_n-a_n-1=3，∴a_n=1+（n-1）•3=3n-2．

（2）bn=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

[

1

3n-2

-

1

3n+1

]
∴Tn=

1

3

[1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+

1

7

-

1

10

++

1

3n-2

-

1

3n+1

]=

1

3

[1-

1

3n+1

]，
∵T_n单调递增∴Tn≥T1=

1

3

[1-

1

4

]=

1

4

，
又∵

1

3n+1

＞0，∴Tn＜

1

3

，综上

1

4

≤Tn＜

1

3

．
（3）∵

Sn

n

±

n+(n-1)•3

n

=1+

3

2

(n-1)=

3

2

n-

1

2

∴S1+

S2

2

++

Sn

n

=n+

n(n-1)

2

•

3

2

=

3n2+n

4

，∴

3n2+n

x

=63，∴n=9．

点评：（1）由S_n求a_n，易漏对n=1的检验（2）主要考查裂项求和（3）存在性问题首先假设n存在，若找出n的值，即存在，若推出矛盾，则不存在n