Question

5．已知{a_n}是等差数列，a₁=2，a₃=18，{b_n}也是等差数列，a₂-b₂=4，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃．
（1）求数列{b_n}的通项公式及前n项和S_n的公式．
（2）数列{a_n}与{b_n}是否有相同的项？若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的通项公式求出等差数列{a_n}的公差d和a_n，结合条件求出等差数列{b_n}的公差、首项和b_n，利用等差数列的前n项和公式求出S_n；
（2）假设数列{a_n}与{b_n}有相同的项，令8n₁-6=3n₂，由取值范围求解不定方程，求出相同的项的表达式，即可求出在100以内有几个相同项．

解答 解：（1）因为a₁=2，a₃=18，所以等差数列{a_n}的公差d=$\frac{18-2}{3-1}$=8，
则a_n=2+（n-1）×8=8n-6，
因为a₂-b₂=4，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃，
所以b₂=6，b₁+b₂+b₃+b₄=30，
设等差数列{b_n}的公差为t，则代入上式得：
$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}+t=6}\\{3{b}_{1}+5t=24}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=3}\\{t=3}\end{array}\right.$，
所以b_n=3+（n-1）×3=3n，S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$=$\frac{3}{2}（{n}^{2}+n）$；
（2）假设数列{a_n}与{b_n}有相同的项，
则令8n₁-6=3n₂，n₁、n₂∈N₊，即n₂=$\frac{{8n}_{1}}{3}-2$∈N₊，
所以n₁=3k，k∈N₊，
所以数列{a_n}与{b_n}有相同的项c_n=24k-6，k∈N₊，
由24k-6≤100得，k≤$\frac{53}{12}$且k∈N₊，共有4个值，
所以在100以内有4个相同项：18、42、66、90．

点评 本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，以及不定方程的求解，考出化简计算能力，属于中档题．