Question

已知函数f（x）=，其中a∈R．
（1）若a=1时，记h（x）=+2ex-2，存在x₁，x₂∈（0，1]使h（x₁）＞g（x₂）成立，求实数m的取值范围；
（2）若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）a=1时，存在x₁，x₂∈（0，1]使h（x₁）＞g（x₂）成立，等价于h（x）_max＞g（x）_min，利用导数、函数单调性可求得两函数的最值；
（2）f′（x）=，按照a=0，a＞0，a＜0三种情况进行讨论，根据单调性可判断函数最值情况；
解答：解：（1），
x∈（0，e^-1），g'（x）＜0，g（x）递减；x∈（e^-1，1），g'（x）＞0，g（x）递增，
∴，∴h（x）=，
显然m＞0，则h（x）在（0，1]上是递增函数，h（x）_max=m，
∴m＞1，
所以存在x₁，x₂∈（0，1]使h（x₁）＞g（x₂）成立时，实数m的取值范围是（1，+∞）；
（2）解：f′（x）=，
①当a=0时，f′（x）=．
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，f（x）在[0，+∞）上不存在最大值和最小值；
当a≠0，f（x）=，
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=-a＜0，，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+		-
f（x）	↗	f（x2）	↘

故f（x）的单调减区间是；单调增区间是．
当a＞0时，由上得，f（x）在单调递增，在单调递减，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最大值．
又因为，
设x为f（x）的零点，易知，且．从而x＞x时，f（x）＞0；x＜x时，f（x）＜0．
若f（x）在[0，+∞）上存在最小值，必有f（0）≤0，解得-1≤a≤1．
所以a＞0时，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（0，1]．
③当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（0，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	-		+
f（x）	↘	f（x1）	↗

所以f（x）的单调增区间是（-a，+∞）；单调减区间是（0，-a），f（x）在（0，-a）单调递减，在（-a，+∞）单调递增，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最小值f（-a）=-1．
又因为，
若f（x）在[0，+∞）上存在最大值，必有f（0）≥0，解得a≥1，或a≤-1．
所以a＜0时，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（-∞，-1]．
综上，a的取值范围是（-∞，-1]∪（0，1]．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，能力要求较高．