Question

（09年湖北鄂州5月模拟理）（14分）设函数．

⑴求f (x)的单调区间和极值；

⑵是否存在实数a，使得关于x的不等式f (x)≥a的解集为(0，＋∞)？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．

Answer 1

解析：⑴                                       3分

故当x∈(0，1)时＞0，x∈(1，＋∞)时＜0

所以在(0，1)单增，在(1，＋∞)单减                                                5分

由此知在(0，＋∞)内的极大值为＝ln2，没有极小值                  6分

⑵(i)当a≤0时，由于

故关于x的不等式的解集为(0，＋∞)                                          10分

(ii)当a＞0时，由知

其中n为正整数，且有

又n≥2时，且

取整数n_o满足n_o＞－log₂(e－1)，n_o＞且n_o≥2

即

即当a＞0时，关于x的不等式的解集不是(0，＋∞)                 13分

综合(i)、(ii)知，存在a使得关于x的不等式的解集为(0，＋∞)且a的取值范围为(－∞，0]

法二：

注：事实上，注意到定义域为(0，＋∞)，只须求之下限

结合(1)，并计算得

故所求a值存在，其范围是(－∞，0]