Question

（2006•崇文区二模）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的小球共10个，其中白球5 个，红球3个，黄球2个．现从中任取出一球确定颜色后再放回盒子里，最多取3次，取出黄球则不再取球．求：
（Ⅰ）最多取两次就结束的概率；
（Ⅱ）若取到3次，正好取到2个红球的概率；
（Ⅲ）取球次数的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设取球次数为ξ₁，最多取两次结束包括取一次、取两次结束，则ξ₁=1，2，分别求出相应的概率再相加可求；
（Ⅱ）（Ⅱ）由题意知可以如下取球：白红红、红白红、红红白、红红黄四种情况，求出各种情况下的概率再求和；
（Ⅲ）设取球次数为ξ，则ξ=1，2，3，分别表示“第一次取得黄球”，“第一次没取到第二次取到黄球”，“前2次没取到黄球”，分别求出相应概率，可得分布列，由期望公式可求期望值；

解答：解：（Ⅰ）设取球次数为ξ₁，则ξ₁=1，2，
P(ξ1=1)=

C 1 2

C 1 10

=

1

5

，P(ξ1=2)=

C 1 8

C 1 10

×

C 1 2

C 1 10

=

4

5

×

1

5

=

4

25

．
所以最多取两次的概率P=

1

5

+

4

25

=

9

25

．
（Ⅱ）由题意知可以如下取球：白红红、红白红、红红白、红红黄四种情况，
所以恰有两次取到红球的概率为P=

5

10

×

3

10

×

3

10

×3+

3

10

×

3

10

×

2

10

=

153

1000

．
（Ⅲ）设取球次数为ξ，
则 P(ξ=1)=

2

10

=

1

5

，P(ξ=2)=

8

10

×

2

10

=

4

25

，P(ξ=3)=

8

10

×

8

10

×(

2

10

+

8

10

)=

16

25

，
则分布列为：

ξ	1	2	3
P	1 5	4 25	16 25

取球次数的数学期望为Eξ=1×

1

5

+2×

4

25

+3×

16

25

=

61

25

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列及期望，理解相关概念及计算公式是解决问题的基础．