题目内容

数列{an}满足：log2an+1=1+log2an，前n项和为Sn，若a3=10，则a10=
 
．
分析：由log2an+1=1+log2an可得递推式
an+1
an
=2，又a3=10，可求出a1=
10
7
，根据求前n项和公式求出a10．
解答：解：由log2an+1=1+log2an，可得log2an+1-log2an=log2
an+1
an
=1，
所以
an+1
an
=2，
又a3=10，所以a10=a3×27=1280；
故答案为1280．
点评：此题主要考查数列递推式及前n项和的计算．
练习册系列答案
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已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的导函数为f′（x），且f（-x）=f（x），f（1）=1，f′（-1）=-2．数列{an}满足a1=1，且当n≥2，n∈N*时，an=n2[
1
f(1)
+
1
f(2)
+…+
1
f(n-1)
]．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当n≥2且n∈N*时，比较
1+an
an+1
与
f(n+1)
f(n)
的大小．
（3）比较（1+
1
a1
）（1+
1
a2
）（1+
1
a3
）L（1+
1
an
）与4的大小．
已知函数y=f（x）的定义域为R，且对于任意x1，x2∈R，存在正实数L，使得|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|都成立．
（1）若f(x)=
1+x2
，求L的取值范围；
（2）当0＜L＜1时，数列{an}满足an+1=f（an），n=1，2，…．
①证明：
n
k=1
|ak-ak+1|≤
1
1-L
|a1-a2|；
②令Ak=
a1+a2+…ak
k
(k=1，2，3，…)，证明：
n
k=1
|Ak-Ak+1|≤
1
1-L
|a1-a2|．
函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=1
（1）求f（
1
2
）的值；
（2）数列{an}满足：an=f（0）+f（
1
n
)+f(
2
n
)+L+f（
n-1
n
）+f（1），求an；
（3）令bn=
2
2an-1
，Tn=b12+b22+L+bn2，Sn=8-
4
n
，试比较Tn与Sn的大小、
已知函数f（x）=
5+2x
16-8x
，设正项数列{an}满足a1=l，an+1=f（an）．
（I）写出a2，a3的值；
（Ⅱ）试比较an与
5
4
的大小，并说明理由；
（Ⅲ）设数列{bn}满足bn=
5
4
-an，记Sn=
n
i=1
bi．证明：当n≥2时，Sn＜
1
4
（2n-1）．
已知函数满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个实数根．
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；
(Ⅱ)设数列{an}满足a1=l，an+1=f(an)≠l，n∈N*，求数列{an}的通项公式；
(Ⅲ)定义，对于(Ⅱ)中的数列{an}，令，设Sn为数列{bn}的前n项和，求证：Sn＞ln(n+1)．

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