Question

函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=1
（1）求f（

1

2

）的值；
（2）数列{a_n}满足：a_n=f（0）+f（

1

n

)+f(

2

n

)+L+f（

n-1

n

）+f（1），求a_n；
（3）令b_n=

2

2an-1

，T_n=b₁²+b₂²+L+b_n²，S_n=8-

4

n

，试比较T_n与S_n的大小、

Answer 1

分析：（1）用赋值法求函数值．（2）需观察出a_n中距首尾对称项和相等，即可用倒序相加求数列和．（3）先把b_n化简，再用放缩法求和、证明不等式．

解答：解：（1）令x=

1

2

，
则有f(

1

2

)+f(1-

1

2

)=f(

1

2

)+f(

1

2

)=1．∴f(

1

2

)=

1

2

．
（2）令x=

1

n

，得f(

1

n

)+f(1-

1

n

)=1．即f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=1．
因为an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)+f(1)，
所以an=f(1)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

1

n

)+f(0)．
两式相加得：2an=[f(0)+f(1)]+[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]++[f(1)+f(0)]=n+1，∴an=

n+1

2

，n∈N*．
（3）bn=

2

2an-1

=

2

n

，n=1时，T_n=S_n；n≥2时，∴Tn=b12+b22++bn2=4(1+

1

22

+

1

32

++

1

n2

)≤4[1+

1

1×2

+

1

2×3

++

1

n(n-1)

]
=4[1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n-1

-

1

n

)]
=4(2-

1

n

)=8-

4

n

=Sn
∴T_n≤S_n．

点评：此题考查了数列与函数，不等式的综合应用，做题时仔细审题，找出规律，认真解答