Question

已知函数f（x）在R上有定义，对任何实数a＞0和任何实数x，都有f（ax）=af（x）
（Ⅰ）证明f（0）=0；
（Ⅱ）证明f(x)=

kx x≥0 hx x＜0

其中k和h均为常数；
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的k＞0时，设g（x）=

1

f(x)

+f（x）（x＞0），讨论g（x）在（0，+∞）内的单调性并求极值．

Answer 1

证明（Ⅰ）令x=0，则f（0）=af（0），
∵a＞0，
∴f（0）=0．

（Ⅱ）①令x=a，
∵a＞0，
∴x＞0，则f（x²）=xf（x）．
假设x≥0时，f（x）=kx（k∈R），则f（x²）=kx²，而xf（x）=x•kx=kx²，
∴f（x²）=xf（x），即f（x）=kx成立．
②令x=-a，
∵a＞0，
∴x＜0，f（-x²）=-xf（x）
假设x＜0时，f（x）=hx（h∈R），则f（-x²）=-hx²，而-xf（x）=-x•hx=-hx²，
∴f（-x²）=-xf（x），即f（x）=hx成立．
∴f(x)=

kx，x≥0 hx，x＜0

成立．

（Ⅲ）当x＞0时，g(x)=

1

f(x)

+f(x)=

1

kx

+kx，g′(x)=-

1

kx2

+k=

x2-1

kx2

令g'（x）=0，得x=1或x=-1；
当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，∴g（x）是单调递减函数；
当x∈[1，+∞）时，g'（x）＞0，∴g（x）是单调递增函数；
所以当x=1时，函数g（x）在（0，+∞）内取得极小值，极小值为g(1)=

1

k

+k