Question

设x，y满足约束条件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若y=zx+z+3，则实数z的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，由y=zx+z+3得z=

y-3

x+1

，利用z的几何意义进行求解．

解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由y=zx+z+3得z=

y-3

x+1

，z=

y-3

x+1

的几何意义为阴影部分的动点（x，y）到定点P（-1，3）连线的斜率的取值范围．
由图象可知当点位于B时，直线的斜率最大，当点位于O时，直线的斜率最小，
由

3x-y-6=0 x-y+2=0

，解得

x=4 y=6

，即B（4，6），
∴BP的斜率k=

6-3

4+1

=

3

5

，
OP的斜率k=

3

-1

=-3，
∴-3≤z≤

3

5

．
故答案为：[-3，

3

5

]．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．