Question

已知函数f(x)=

x2

x+a

(a∈R)，（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a=-1时，讨论函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析：（1）要判断函数的奇偶性，只要检验f（-x）与f（x）的关系，由于f(-x)=

x2

a-x

，f(x)=

x2

a+x

，故需考虑a是否为0，从而要对①a=0②a≠0两种情况进行判断
（2）当a=-1时，f(x)=

x2

x-1

，要判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，只要设x₁＜x₂∈（1，+∞），然后通过判断f（x₁）-f（x₂）=

x12

x1-1

-

x22

x2-1

的正负可得断f（x₁）与f（x₂）的大小即可

解答：解：（1）当a=0时，f(x)=

x2

x

，x≠0，f（-x）=-f（x）成立，所以f（x）是奇函数
当a≠0时，f(-1)=

1

a-1

，f（1）=

1

1+a

，这时f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1）
所以f（x）不满足f（x）=f（-x）及f（x）=-f（-x）对任意的x都成立，故函数是非奇非偶数
综上可得，当a=0时，函数为奇函数
当a≠0时，函数为非奇非偶数                                                  
（2）当a=-1时，f(x)=

x2

x-1

设x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

x12

x1-1

-

x22

x2-1

=

x12x2 -x12-x1x22+x22

(x1-1)(x2-1)

=

x1x2(x1-x2)-(x1+x2)(x1-x2)

(x1-1)(x2-1)

=

(x1-x2)[x1x2-(x1+x2)]

(x1-1)(x2-1)

 
当x₁＜x₂∈（1，2]时，0＜x₁-1＜x₂-1≤1
则

x1-x2

(x1-1)(x2-1)

＜0，x₁x₂-（x₁+x₂）=（x₁-1）（x₂-1）-1＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）是区间（1，2]的单调递减函数． 
当x₁＜x₂∈（2，+∞）时，同理可证函数f（x）单调递增
故函数f（x）是区间[1，2]的单调递减函数，在（2，+∞）上单调递增

点评：本题主要考察了函数的奇偶性及函数的单调性的定义的 应用，属于基本方法的考察，解题的难点在于单调性的判断中的变形定号时的计算．