Question

（2012•浙江）设a∈R，若x＞0时均有[（a-1）x-1]（x²-ax-1）≥0，则a=

3

2

．

Answer 1

分析：分类讨论，（1）a=1；（2）a≠1，在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．

解答：解：（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．
（2）a≠1，构造函数y₁=（a-1）x-1，y₂=x ²-ax-1，它们都过定点P（0，-1）．
考查函数y₁=（a-1）x-1：令y=0，得M（

1

a-1

，0），
∴a＞1；
考查函数y₂=x ²-ax-1，显然过点M（

1

a-1

，0），代入得：(

1

a-1

)2-

a

a-1

-1=0，
解之得：a=

3

2

，或a=0（舍去）．
故答案为：

3

2

点评：本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是构造函数，利用函数的性质求解．