Question

已知函数；

（1）若＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；

（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求的值；

（3）若f（x）＜x2在（1，上恒成立，求a的取值范围．

 

Answer 1

（1）单调递增函数；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）首先确定函数的定义域是，再求导数＝，依题设中的条件判断的符号，从而得到在定义域内的单调性；

（2）由于＝＝，根据参数对导数的取值的影响，恰当地对其分类讨论，根据在上的单调性，求出含参数的最小值表达式，列方程求的值， 并注意检查其合理性；

（3）由于

令，则可将原问题转化为求函数的最大值问题，可借助导数进行探究.

试题解析：.【解析】
（1）由题意f（x）的定义域为（0，+∞），且f'（x）=…（2分）

∵a＞0，

∴f'（x）＞0，

故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数 　　　　 …（4分）

（2）由（1）可知，f′（x）=．

（1）若a≥﹣1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数，

∴[f（x）]m1n=f（1）=﹣a=，

∴a=﹣（舍去）　…（5分）

（2）若a≤﹣e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，

∴[f（x）]m1n=f（e）=1﹣（舍去）…（6分）

（3）若﹣e＜a＜﹣1，令f'（x）=0得x=﹣a，当1＜x＜﹣a时，f'（x）＜0，

∴f（x）在（1，﹣a）上为减函数，f（x）在（﹣a，e）上为增函数，

∴[f（x）]m1n=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=

∴[f（x）]m1n=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=

∴a=﹣．…（8分）

（3）

又 9分

令

时，

在上是减函数 10分

即在上也是减函数，

所以，当时，在上恒成立

所以. 12分

考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、等价转化的思想与分类讨论的思想.