Question

函数y=log

1

2

(sinx-cosx)的单调增区间是（　　）

• A、[2kπ-

  π

  4

  ，2kπ+

  3π

  4

  ]，(k∈Z)
• B、[2kπ+

  3π

  4

  ，2kπ+

  7π

  4

  ]，(k∈Z)
• C、[2kπ+

  3π

  4

  ，2kπ+

  5π

  4

  ]，(k∈Z)
• D、[2kπ+

  π

  4

  ，2kπ+

  3π

  4

  ]，(k∈Z)

Answer 1

分析：根据对数函数的真数大于0和正弦函数的性质，求出原函数的定义域，再根据复合函数的单调性、对数函数、正弦函数的单调性，求出原函数的单调增区间．

解答：解：设u=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），由u＞0，
即sin（x-

π

4

）＞0，解得，2kπ＜x-

π

4

＜π+2kπ（k∈z），
∴

π

4

+2kπ＜x＜

5π

4

+2kπ，即函数的定义域是（

π

4

+2kπ，

5π

4

+2kπ）（k∈z），
∵函数y=log

1

2

u在定义域内是减函数，∴原函数的单调增区间是u的减区间，
由

π

2

+2kπ≤x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ得，2kπ+

3π

4

≤x≤2kπ+

7π

4

，(k∈Z)，
∵函数的定义域是（

π

4

+2kπ，

5π

4

+2kπ）（k∈z），
∴所求的函数单调增区间是[2kπ+

3π

4

，2kπ+

5π

4

]，(k∈Z)，
故选C．

点评：本题是有关函数单调性的综合题，涉及了复合函数的单调性、对数函数以及正弦函数的单调性，对于对数型复合函数需要先求出原函数的定义域，这是易错的地方．