题目内容
已知使函数f（x）=x3-ax2+1（0≤a≤M0）存在整数零点的实数a恰有3个，则M0的取值范围是
[
，
)．
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| 4 |
| 28 |
| 9 |
[
，
)．
．| 9 |
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| 28 |
| 9 |
分析：通过对a分类讨论，令f（x）=0，用x表示a，利用导数探究其单调性，找出取得整数零点的最小的三个、四个a 的值即可得出M0的取值范围．
解答：解：①当a=0时，f（x）=x3+1=（x+1）（x2-x+1）存在一个整数零点-1，满足条件；
②当a≠0时，∵x=0时，f（0）=1≠0，∴0不是函数f（x）的零点；
由f（x）=x3-ax2+1=0（x≠0）可得a=x+
，
令g（x）=x+
，则g′(x)=1-
=
，
令g′（x）=0，解得x=
，列表得：
由表格可知：g（x）在区间(0，
)上单调递减，
在区间（-∞，0），(
，+∞)上单调递增，
画出图象：
当x＜0且x≠-1时，函数f（x）不存在零点；
当0＜x＜
时，只有一个整数零点x=1，此时a=2；
当x=
时，不是整数零点应舍去；
当x＞
时，最小整数零点x=2，此时a=
；
比2大1的整数零点是3，此时a=
．
综上可知：要满足函数f（x）=x3-ax2+1（0≤a≤M0）存在整数零点的实数a恰有3个（即0，2，
），则M0的取值范围是[
，
)．
故答案为[
，
)．
②当a≠0时，∵x=0时，f（0）=1≠0，∴0不是函数f（x）的零点；
由f（x）=x3-ax2+1=0（x≠0）可得a=x+
| 1 |
| x2 |
令g（x）=x+
| 1 |
| x2 |
| 2 |
| x3 |
| x3-2 |
| x3 |
令g′（x）=0，解得x=
| 3 | 2 |
由表格可知：g（x）在区间(0，
| 3 | 2 |
在区间（-∞，0），(
| 3 | 2 |
画出图象：
当x＜0且x≠-1时，函数f（x）不存在零点；当0＜x＜
| 3 | 2 |
当x=
| 3 | 2 |
当x＞
| 3 | 2 |
| 9 |
| 4 |
比2大1的整数零点是3，此时a=
| 28 |
| 9 |
综上可知：要满足函数f（x）=x3-ax2+1（0≤a≤M0）存在整数零点的实数a恰有3个（即0，2，
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 28 |
| 9 |
故答案为[
| 9 |
| 4 |
| 28 |
| 9 |
点评：熟练掌握分类讨论的思想方法、利用导数探究函数的单调性是解题的关键．
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