Question

已知函数f(x)=2cos2x+

3

sin2x+m，m∈R
（1）当x∈R时，求f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，且f（x）的最小值为2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：f（x）=2sin(2x+

π

6

)+m+1，由正弦函数的单调性可得：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z
进而得到f（x）的单调递增区间．
（2）因为x∈[0，

π

2

]，所以2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，所以sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，即可求出m的数值．

解答：解：（1）由题意可得：
f(x)=2cos2x+

3

sin2x+m
=cos2x+

3

sin2x+m+1
=2sin(2x+

π

6

)+m+1，
由正弦函数的单调性可得：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z
即得到：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
∴f（x）的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z
（2）∵x∈[0，

π

2

]
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴f（x）的最小值为m
∴m=2．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握正弦函数的有关性质，以及熟练掌握利用整体思想解决数学问题的方法．