Question

已知函数f（x）=e^x+e^-x（e为自然对数的底数），其导函数为f′（x），有下列四个结论：
①f′（x）的图象关于原点对称；              ②f′（x）在R上不是增函数；
③f′（|x|）的图象关于y轴对称；             ④f′（|x|）的最小值为0
其中正确的结论是

①③④

（填写正确结论的序号）．

Answer 1

分析：①先求导，再利用奇函数的定义即可判断出是否是奇函数；
②对f′（x）求导，再进行判断即可；
③利用奇偶性的定义进行判断即可；
④通过换元求导即可得出．

解答：解：①∵函数f（x）=e^x+e^-x（e为自然对数的底数），∴f^′（x）=e^x-e^-x．
∴f^′（-x）=e^-x-e^x=-f^′（x），∴导函数f′（x）是奇函数，其图象关于原点对称，∴①正确；
②∵[f^′（x）]^′=e^x+e^-x＞0，∴f′（x）在R上是增函数，故②不正确；
③∵f^′（|x|）=f^′（|-x|），∴f^′（|x|）是偶函数，其图象关于y轴对称；
④∵f^′（|x|）=e^|x|-e^-|x|，e^|x|≥e⁰=1．
令e^|x|=t≥1，则f^′（|x|）=g（t）=t-

1

t

（t≥1）．
∵g′(t)=1+

1

t2

＞0，∴函数g（t）在[1，+∞）上单调递增．
∴f^′（|x|）=g（t）≥g（1）=0，故f′（|x|）的最小值为0，即④正确．
综上可知：只有①③④正确．
故答案为①③④．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的性质是解题的关键．