Question

函数，g（x）=ax²-b（a、b、x∈R），集合，
（1）求集合A；
（2）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，求实数a的范围；
（3）如果b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立时，求a的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）换元法：令，则x²=t²-1，把不等式转化为t²-6t+8≤0，即可求得集合A；
（2）由f（x）≥0恒成立，即可得到恒成立，分离参数，得，转化为求函数的最小值，换元，利用导数即可求得结果；
（3）同（2），只是此时转化为a≤，即a≤=，根据（2）可知a+b≤，利用不等式的可加性即可求得a的最大值．
解答：解：（1）令，则x²=t²-1，
f（x）≤0，即，即t²-6t+8≤0，（t-2）（t-4）≤0
∴2≤t≤4，所以2≤≤4，所以x，
即A=；
（2）f（x）≥0恒成立也就是恒成立，
即，
∵，∴，
令，则t∈[2，4]，则y=，∴a≤y恒成立，∴a≤y_min，
由导数可知，当t=2时，y_min=，
∴a≤
（3）对任意x∈A，f（x）≥0恒成立，∴=，
由（2）可知a+b≤       ①，
由g（x）=ax²-b≤0有解，ax²-b≤0有解，即a≤，
∵b＞0，∴a≤=，
∴3a-b≤0        ②
①+②可得a
所以a的最大值为，此时b=．
点评：此题是个难题．考查函数恒成立问题，体现了转化和分类讨论的思想方法，同时考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．