题目内容

投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得10～1000万元的投资收益．现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的20%．
（1）设奖励方案的函数模型为f（x），试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f（x）的基本要求；
（2）公司预设的一个奖励方案的函数模型：f（x）=
x
150
+2试分析这个函数模型是否符合公司要求；
（3）（理）求证：函数模型g（x）=
ax-1
-1，a∈[
1
2
，1]符合公司的一个奖励方案．
（文）假设下面这个函数模型是符合公司的一个奖励方案：g(x)=
ax-1
-1（a＞0），求实数a满足的条件．
分析：（1）根据题意可知奖励方案描述的是函数的单调性和最值，从而运用数学语言描述出即可；
（2）对于函数模型f（x）=
x
150
+2，研究它的单调性和恒成立问题，即可判断是否符合（1）中的基本要求；
（3）（理）①②的验证很显然，③利用分析法证明；
（文）x∈[10，1000]时，g（x）=
ax-1
-1有意义，可得a≥
1
10
，由g（x）min=
10a-1
-1≥1成立，可得a≥
1
2
恒成立，设
ax-1
-1≤
x
5
恒成立，分离参数可得a≤
x
25
+
2
x
+
2
5
恒成立，根据y=
x
25
+
2
x
+
2
5
在x∈[10，1000]时，单调递增，即可得出结论．
解答：（1）解：由题意知，公司对奖励方案的函数模型f（x）的基本要求是：
当x∈[10，1000]时，①f（x）是增函数；②f（x）≥1恒成立；③f(x)≤
x
5
恒成立，
（2）解：对于函数模型f（x）=
x
150
+2，
当x∈[10，1000]时，f（x）是单调递增函数，则f（x）≥1显然恒成立，
若函数f（x）=
x
150
+2≤
x
5
在[10，1000]上恒成立，即29x≥300恒成立，
又∵（29x）min=290，
∴f（x）=
x
150
+2不恒成立，
综上所述，函数模型f（x）=
x
150
+2满足基本要求①②，但是不满足③，
故函数模型f（x）=
x
150
+2不符合公司要求；
（3）（理）证明：函数模型g（x）=
ax-1
-1，a∈[
1
2
，1]，x∈[10，1000]时，满足增函数，g（x）min=1成立；
欲证x∈[10，1000]时，
ax-1
-1≤
x
5
恒成立，
只需证明x∈[10，1000]时，ax-1≤(
x
5
+1)2恒成立，
只需证明x∈[10，1000]时，a≤
x
25
+
2
x
+
2
5
恒成立，
∵y=
x
25
+
2
x
+
2
5
在x∈[10，1000]时，单调递增，
∴x=10时，函数取得最小值1，
∵a∈[
1
2
，1]，
∴x∈[10，1000]时，a≤
x
25
+
2
x
+
2
5
恒成立，
∴：函数模型g（x）=
ax-1
-1，a∈[
1
2
，1]符合公司的一个奖励方案．
（文）x∈[10，1000]时，g（x）=
ax-1
-1有意义，∴a≥
1
10
，∴g（x）min=
10a-1
-1≥1成立，
∴a≥
1
2
恒成立．
设
ax-1
-1≤
x
5
恒成立，则ax-1≤(
x
5
+1)2恒成立，即a≤
x
25
+
2
x
+
2
5
恒成立，
∵y=
x
25
+
2
x
+
2
5
在x∈[10，1000]时，单调递增，
∴x=10时，函数取得最小值1，
∴a≤1，
∴a∈[
1
2
，1]．
点评：本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言--数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．
练习册系列答案
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某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（1）若建立函数y=f（x）模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f（x）模型的基本要求，并分析函数y=
x
150
+2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
（2）若该公司采用模型函数y=
10x-3a
x+2
作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得10～1000万元的投资收益．现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%．
（Ⅰ）设奖励方案的函数模型为f（x），试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f（x）的基本要求．
（Ⅱ）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：
     ①f(x)=
x150
+2；     ②f（x）=4lgx-2．
     试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求．

新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的.

（1）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求.

（2）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：

①；     ②

试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.

 

新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的.

（1）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求.

（2）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：

①；     ②

试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.

 

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