Question

函数f（x）=x²+c，且f[f（x）]=f（x²+1）
（1）设函数g（x）=f[f（x）]，求g（x）的解析式．
（2）设函数h（x）=g（x）-mf（x），若h（x）在（-∞，-1]上是减函数，在[-1，0）上是增函数，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根据条件，利用待定系数法即可求g（x）的解析式．
（2）求出函数h（x）=g（x）-mf（x）的表达式，利用h（x）在（-∞，-1]上是减函数，在[-1，0）上是增函数，可知x=-1是函数的一个极小值，然后利用导数即可求出m的值．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+c，且f[f（x）]=f（x²+1）
∴f（x²+c）=f（x²+1），
即（x²+c）²+c=（x²+1）²+c，
即c=1，
∴f（x）=x²+1，g（x）=f[f（x）]=f（x²+1）=（x²+1）²+1．
（2）由（1）可知：f（x）=x²+1，g（x）=x⁴+2x²+2，
∵h（x）=g（x）-mf（x），
∴h（x）=x⁴+（2-m）x²+2-m，
∴h′（x）=4x³+2（2-m）x
假设存在使的h（x）在（-∞，-1]上是减函数，并且在[-1，0）上是增函数．
则h′（-1）=0
∴-4-2（2-m）=0，
∴m=4．
此时：h（x）=x⁴-2x²-2，∴h′（x）=4x³-4x．
由h′（x）＞0解得，x∈（-1，0）∪（1，+∞）；
由h′（x）＜0解得，x∈（-∞，-1）∪（0，1）．
故满足题意．
∴存在m=4使的h（x）在（-∞，-1）上是减函数，并且在（-1，0）上是增函数．

点评：本题主要考查函数解析式的求法，以及利用导数研究函数的单调性和极值，考查学生的计算能力．