题目内容
已知函数f(x)的定义域为［0，1］，且满足下列条件：
①对于任意x∈［0，1］，总有f(x)≥3，且f(1)=4；
②若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)－3．
（Ⅰ）求f(0)的值；
（Ⅱ）求证：f(x)≤4；
（Ⅲ）证明：f(
)≤+3(n∈N*)；
（Ⅳ）当x∈(
］(n=1，2，3，……)时，试证明f(x)＜3x+3．
（Ⅰ）解:令x1=x2=0,由①对于任意x∈［0,1］,总有f(x)≥3,
∴f(0)≥3.
又由②得f(0)≥2f(0)-3,
即f(0)≤3;
∴f(0)=3.
（Ⅱ）证明:任取x1、x2∈［0,1］,且设x1＜x2,
则f(x2)=f［x1+(x2-x1)］≥f(x1)+f(x2-x1)-3,
∵0＜x2-x1≤1,∴f(x2-x1)≥3,
即f(x2-x1)-3≥0.∴f(x1)≤f(x2).
∴当x∈［0,1］时,f(x)≤f(1)=4.
（Ⅲ）证明:用数学归纳法证明：f(
)≤+3(n∈N*).
(1)当n=1时,f(
)=f(1)=4=1+3=+3,不等式成立；
(2)假设当n=k时,f(
)≤+3(k∈N*),
由f()=f［
+(+)］≥f()+f(+)-3≥f()+f()+f()-6，
得3f()≤f()+6≤+9.∴f()≤+3,
即当n=k+1时,不等式成立；
由(1)(2),可知不等式f()≤+3对一切正整数都成立；
（Ⅳ）由（Ⅲ）,当x∈(
,］(n=1,2,3,…)时,
3x+3＞3×+3=+3≥f(), …
由（Ⅱ），x∈（0,1］,f(x)单调递增或者恒为常数，∴f()≤f()，
∴f(x)＜f()＜3x+3.
