Question

已知函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）-4cos²x+2，
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）若x∈[

π

4

，

π

2

]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的增减区间性质即可求出；
（2）把x的范围代入求出正弦函数的取值范围，根据增减区间从而求出值域．

解答：解：f（x）=2sin（2x+

π

6

）-4cos²x+2
=2（sin2x•

3

2

+cos2x•

1

2

）-2cos2x
=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

）…4分
（1）∵f（x）的单调减区间满足：2x-

π

6

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ] k∈Z
∴x∈[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]  k∈Z…8分
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]
∴2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]
根据正弦函数的增减区间性质可知：
当2x-

π

6

=

5π

6

时，f（x）_min=1；
当2x-

π

6

=

π

2

时，f（x）_max=2；
∴f（x）的值域为[1，2]…13分

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调区间与值域，熟练掌握公式是解本题的关键