Question

已知函数处取得极值.

（I）求b的值；

（II）若当恒成立，求c的取值范围；

20070331

 （III）对任意的是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由.

Answer 1

解：（I）∵f(x)=x³－x²+bx+c，

∴f′(x)=3x²－x+b

∵f(x)在x=1处取得极值，

∴f′(1)=3－1+b=0.    ∴b=－2

（II）f(x)=x³－x²－2x+c.

∵f′(x)=3x²－x－2=(3x+2)(x－1)，

x	(－∞，－)	－	(－,1)	1	(1,+ ∞)
f′(x)	+	0	－	0	+
f(x)		+c		－+c

∴当时，函数f(x)单调递增；

当x∈（－,1）时，函数f(x)单调递减；

当x∈（1，2时，函数f(x)单调递增.

∴当x=－时，f(x)有极大值+c

又

∴x∈[－1，2]时，f(x)最大值为f(2)=2+c.

∴c²>2+c.

∴c<－1或c>2

（III）对任意的恒成立.

由（II）可知，当x=1时，f(x)有极小值－+c.

又

∴x∈[－1，2]时，f(x)最小值为－+c.

，故结论成立