Question

抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点F₁且垂直于椭圆的长轴，又抛物线 与椭圆的一个交点是M(

2

3

，

2 6

3

)，求抛物线与椭圆的标准方程．

Answer 1

分析：首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，再利用抛物线与椭圆同过交点(

2

3

，

2 6

3

)，求出c、p的值，进而结合椭圆的性质a²-b²=c²，求解即可．

解答：解：由题意可设 抛物线方程为y²=2px（p＞0）
∵点M(

2

3

，

2 6

3

)在抛物线上，∴p=2
抛物线的方程为y²=4x
∴F₁（-1，0），F₂（1，0），C=1
∴2a=MF1+MF2=4，a=2，b=

3

椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1

点评：本题考查了抛物线和椭圆的标准方程的求法：待定系数法，熟练掌握圆锥曲线的性质是解题的关键，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧．