Question

设函数f(x)=lg

ax-5

x2-a

的定义域为A，若命题p：3∈A与命题q：1∉A有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：若命题p：3∈A为真，则函数f(x)=lg

ax-5

x2-a

的真数部分在x=3时大于0，由此我们易求出命题p为真时，实数a的取值范围；而命题q：1∉A为真时，函数f(x)=lg

ax-5

x2-a

的真数部分无意义或小于0，进而求出命题q为真时，实数a的取值范围；然后由命题p与命题q有且仅有一个为真命题，分类讨论，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：设由题意得：当3∈A，则有

3a-5

9-a

＞0?a∈(

5

3

，9)；
当q：1∉A，则有

a-5

1-a

≤0或a=1?a≥5或a≤1；
若P真q假，则a∈(

5

3

，5)；    
若P假q真，则a∈[9，+∞）∪（-∞，1]；
故：a∈(

5

3

，5)∪[9，+∞）∪（-∞，1]

点评：本题考查的知识点是函数的定义域，复合命题的真假，分式不等式的解法，其中分别求出命题p与命题q为真时，实数a的取值范围是解答本题的关键，在确定命题q：1∉A为真时，易忽略当x=1时，可能导致函数f(x)=lg

ax-5

x2-a

的真数部分无意义，而错解为a∈(

5

3

，5)∪[9，+∞）∪（-∞，1）