Question

已知函数f(x)=x+

a

x

，且f(1)=2．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性（须有证明过程）；
（3）求f（x）在区间（0，+∞）的单调性（须有证明过程）．

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=x+

a

x

，且f(1)=2，可得 1+a=2，解得 a 的值．
（2）函数f(x)=x+

a

x

的定义域为{x|x≠1}，关于原点对称，且f（-x）=-f（x），可得函数是奇函数．
（3）设 0＜x₁＜x₂＜1，化简f（x₁ ）-f（x₂）的解析式，可得f（x₁ ）-f（x₂）＞0，故f（x）在（0，1）上是减函数，同理可证f（x）在（1，+∞）上是增函数．

解答：解：（1）∵函数f(x)=x+

a

x

，且f(1)=2，∴1+a=2，解得 a=1．
（2）函数f(x)=x+

a

x

的定义域为{x|x≠1}，关于原点对称，
且f（-x）=-x+

1

-x

=-（x+

1

x

）=-f（x），故函数是奇函数．
（3）设 0＜x₁＜x₂＜1，由于
f（x₁ ）-f（x₂）=x1+

1

x1

-（x2+

1

x2

）=（x₁-x₂）+（

x2-x1

x1x2

）=（x₁-x₂） （1-

1

x1x2

），
由 0＜x₁＜x₂＜1可得 x₁-x₂＜0，（1-

1

x1x2

）＜0，故有f（x₁ ）-f（x₂）＞0，
故f（x）在（0，1）上是减函数，
同理可得f（x）在（1，+∞）上是增函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，求函数的值，属于中档题．