Question

已知函数f（x） 定义在（-1，1）上，f（

1

2

）=1，满足f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），且数列x₁=

1

2

，x_n+1=

2xn

1+xn2

．
（Ⅰ）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（Ⅱ）求f（x_n）的表达式；
（Ⅲ）若a₁=1，a_n+1=

12n

2n

f（x_n）-a_n，（n∈N₊）．试求a_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用奇函数的定义去证明．
（Ⅱ）利用数列的递推公式推导．
（Ⅲ）将数列进行等价转化，转化为规则数列，然后求通项公式．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）定义在（-1，1）上满足f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），
所以当x=y=0时，可得f（0）=0，当x=0时，f（0）-f（y）=f（-y），
即f（-y）=-f（y），所以f（-x）=-f（x），
即f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（Ⅱ）因为f(xn-1)=f(

2xn

1+xn2

)=f(

xn-(-xn)

1-xn?(-xn)

)=f(xn)-f(-xn)=2f(xn)，
所以

f(xn+1)

f(xn)

=2，又f(x1)=f(

1

2

)=1，
所以f（x_n）}为等比数列，其通项公式为f(xn)=f(x1)•2n-1=2n-1．…..（6分）
（3）因为

a

n

+a_n+1=6n，所以a_n+1+a_n+2=6（n+1），两式相减，得a_n+2-

a

n

=6，
所以{a_2n-1}与{a_2n}均为公差为6 的等差数列，
所以易求得

a

n

=

3n-2(n为奇数) 3n-1(n为偶数)

．…．（12分）

点评：本题考查了抽象函数的应用以及函数奇偶性的证明，以及数列的通项公式，综合性较强运算量较大．