Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），当x∈（0，1]时，f（x）=cosx，设a=f（0.5），b=f（

2

），c=f（

3

），则a，b，c大小关系是（　　）

A．a＞b＞c

B．a＞c＞b

C．b＞c＞a

D．c＞b＞a

Answer 1

分析：利用函数的周期性与当x∈（0，1]时f（x）=cosx，结合f（x+1）=-f（x）可求得b=-cos（

2

-1），c=-cos（

3

-1）利用余弦函数的单调性即可得到答案．

解答：解：∵f（x+1）=-f（x），
∴f[（x+1）+1]=-f（x+1）=f（x），
∴函数f（x）是以2为周期的函数．
又x∈（0，1]时，f（x）=cosx，f（x+1）=-f（x），
∴b=f（

2

）
=-f（

2

+1）
=-f（

2

+1-2）
=-f（

2

-1）
=-cos（

2

-1），
同理，c=f（

3

）=-cos（

3

-1），
∵0＜

2

-1＜

3

-1＜1，f（x）=cosx在[0，1]上是减函数，
∴cos（

2

-1）＞cos（

3

-1），
-cos（

2

-1）＜-cos（

3

-1）＜0，
即b＜c＜0，
而a=f（0.5）=cos0.5＞0，
∴a＞c＞b
故选B．

点评：本题考查关系式的比较大小，得到b=-cos（

2

-1），c=-cos（

3

-1）是关键，也是难点，突出函数单调性的应用，属于中档题．