Question

如图，为平面，AB=5,A, B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′＝3，BB′＝2. 若二面角的大小为，求：

（Ⅰ）点B到平面的距离;

（Ⅱ）异面直线与AB所成的角（用反三角函数表示）.

Answer 1

解：（Ⅰ）如图，过点B′C∥A′A且使B′C=A′A.过点B作BD⊥CB′，交CB′的延长线于D.

由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，又已知BB′⊥l，故l⊥平面BB′D，得BD⊥l又因BD⊥CB′，从而BD⊥平面α,BD之长即为点B到平面α的距离.

因B′C⊥l且BB′⊥l，故∠BB′C为二面角α-l-β的平面角.由题意，∠BB′C=.因此在Rt△BB′D中，BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=, BD=BB′?sin∠BB′D=.

（Ⅱ）连接AC、BC.因B′C∥A′A，B′C=A′A, AA′⊥l, 知A′ACB′为矩形，

故AC∥l. 所以∠BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角.

在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=，则由余弦定理，

BC=.

因BD平面，且DCCA，由三垂线定理知ACBC.

故在△ABC中，∠BCA=，sinBAC=.

因此，异面直线l与AB所成的角为arcsin。