Question

已知函数f（x）=aln（2x+1）+bx+1．
（I）若函数y=f（x）在x=1处取得极值，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线2x+y-3=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若b=

1

2

，试讨论函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（I）先求函数的定义域，然后求出函数的导函数，根据导数的几何意义和极值的定义建立方程组

f′(1)=0 f′(0)=-2

，解之即可；
（II）讨论a的正负，然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为(-

1

2

，+∞).f′(x)=

2bx+2a+b

2x+1

由题意

f′(1)=0 f′(0)=-2

，解得

a=- 3 2 b=1

∴a=-

3

2

．（5分）
（Ⅱ）若b=

1

2

，则f(x)=aln(2x+1)+

1

2

x+1.f′(x)=

2x+4a+1

4x+2

．
（1）令f′(x)=

2x+4a+1

4x+2

＞0，由函数定义域可知，4x+2＞0，所以2x+4a+1＞0
①当a≥0时，x∈(-

1

2

，+∞)，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
②当a＜0时，x∈(-2a-

1

2

，+∞)，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
（2）令f′(x)=

2x+4a+1

4x+2

＜0，即2x+4a+1＜0
①当a≥0时，不等式f'（x）＜0无解；
②当a＜0时，x∈(-

1

2

，-2a-

1

2

)，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
综上：当a≥0时，函数f（x）在区间(-

1

2

，+∞)为增函数；
当a＜0时，函数f（x）在区间(-2a-

1

2

，+∞)为增函数；
在区间(-

1

2

，-2a-

1

2

)为减函数．（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及研究函数单调区间等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，属于中档题．