Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=1-ka_n（k＞0，n∈N^*）．
（1）用n、k表示a_n；
（2）数列{b_n}对n∈N^*均有（b_n+1-b_n+2）lga₁+（b_n+2-b_n）lga₃+（b_n-b_n+1）lga₅=0，求证：数列{b_n}为等差数列；
（3）在（1）、（2）中，设k=1，b_n=n+1，x_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，求证：x_n＜3．

Answer 1

【答案】分析：（1）由前n项的和S_n与a_n的关系 a_n+1=S_n+1-S_n，得到数列的递推公式，注意分析k是否为零，再求数列的通项公式．
（2）若（b_n+1-b_n+2）lga₁+（b_n+2-b_n）lga₃+（b_n-b_n+1）lga₅=0，即∴（b_n+1-b_n+2）lg+（b_n+2-b_n）lg[（×（）²]+（b_n-b_n+1）lg[（×（）⁴]=0，展开整理后可得b_n+2+b_n=2b_n+1，根据等比数列的定义，可得数列{b_n}为等差数列；
（3）将k=1代入，利用错位相减法，求出x_n=3-（n+3），结合（n+3）＞0，可得x_n＜3
解答：解：（1）∵S_n=1-ka_n，
∴S₁=a₁=1-ka₁，
∴a₁=
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（1-ka_n+1）-（1-ka_n），
∴a_n+1=ka_n-ka_n+1，即 （k+1）a_n+1=ka_n，
∵kk≠1解得a_n+1=a_n（1）
∵k＞0，a₁≠0，由（1）式易知a_n≠0，n≥1，
∴=
故该数列是公比为，首项为的等比数列，
∴a_n=×（）^n-1．
证明：（2）∵（b_n+1-b_n+2）lga₁+（b_n+2-b_n）lga₃+（b_n-b_n+1）lga₅=0，
∴（b_n+1-b_n+2）lg+（b_n+2-b_n）lg[（×（）²]+（b_n-b_n+1）lg[（×（）⁴]=0…①
令lg=m，lg=n，则m，n均不为0
则①式可化为m（b_n+1-b_n+2）+（m+2n）（b_n+2-b_n）+（m+4n）（b_n-b_n+1）=0
即b_n+2+b_n=2b_n+1，
即数列{b_n}为等差数列；
（3）若k=1，a_n=×（）^n-1=（）ⁿ，
又∵b_n=n+1，
∴x_n=×2+×3+×4+…+（n+1）…①，
∴x_n=×2+×3+…+n+（n+1）…②
①-②得x_n=1+[++…+]-（n+1）=-
∴x_n=3-（n+3）
∵（n+3）＞0
∴x_n＜3
点评：本题考查的知识点是数列通项公式的求法，等差数列的证明，等差数列的应用，是数列的综合应用，运算量大，容易出错，但解题思路易梳理，属于中档题．