Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d≠0，且第二项、第四项、第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=16+a_n，求数列{c_n}的前n项和S_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）用首项和公差表示等差数列的第二项、第四项、第十四项，由等差数列的第二项、第四项、第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项，利用等比中项概念列式求得首项和公差的关系，则公差可求，等差数列的通项公式可求，进一步求出a₂，a₄，a₁₄后可求等比数列的通项公式；
（2）把（1）中求得的a_n代入c_n=16+a_n，然后可得数列{c_n}为等差数列，写出其前n项和后利用配方求其最大值．

解答：解：（1）在等差数列{a_n}中，a₂=a₁+d，a₄=a₁+3d，a₁₄=a₁+13d，
因为a₂，a₄，a₁₄分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项，
所以，a42=a2a14，即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+13d)，4d²=-8a₁d．
因为公差d≠0，所以d=-2a₁．
因为a₁=1，所以d=-2．
所以a_n=a₁+（n-1）d=1-2（n-1）=3-2n．
由b₂=a₂=3-2×2=-1，b₃=a₄=3-2×4=-5，
所以，q=

b3

b2

=

-5

-1

=5，b1=

b2

q

=

-1

5

=-

1

5

．
则bn=b1qn-1=(-

1

5

)×5n-1=-5n-2．
（2）由c_n=16+a_n=16+3-2n=19-2n，
则c_n-1=19-2（n-1）=21-2n（n≥2），
 所以，c_n-c_n-1=（19-2n）-（21-2n）=-2（n≥2），
c₁=19-2×1=17．
则数列{c_n}是首项为17，公差为-2的等差数列，
则S_n=nc1+

n(n-1)d

2

=17n+

-2n(n-1)

2

=-n2+18n
=-（n-9）²+81．
所以当n=9时，S₉=81最大．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列前n项和最大值的求法，利用配方或二次函数的对称轴找出使二次函数取得最值的n若为非正的自然数，n应取离对称轴近的正的自然数，此题是中档题．