Question

已知函数f（x）=ax²+x-xlnx（a＞0）（a∈R）
（1）若a=0，判断函数的单调性
（2）函数f（x）满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx²+2x恒成立，求实数b的取值范围；
（3）当

1

e

＜x＜y＜1时，试比较

y

x

与

1+lny

1+lnx

的大小．

Answer 1

分析：（1）把a=0代入函数解析式，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在每段的符号可得原函数的单调区间；
（2）由f（1）=2求出a的值，把f（x）代入f（x）≥bx²+2x，分离变量b后得到b≤1-

1

x

-

lnx

x

，利用导数求函数g(x)=1-

1

x

-

lnx

x

的最小值，则b的取值范围可求；
（3）由（Ⅱ）知g(x)=1-

1+lnx

x

在（0，1）上单调递减，因为

1

e

＜x＜y＜1，利用函数单调性可比较

y

x

与

1+lny

1+lnx

的大小．

解答：解：（1）当a=0时，f（x）=x-xlnx，函数定义域为（0，+∞）．
f^′（x）=-lnx，由-lnx=0，得x=1．
x∈（0，1）时，f^′（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数．
x∈（1，+∞）时，f^′（x）＜0f（x）在（1，+∞）上是减函数；
（2）由f（1）=2，得a=1，所以f（x）=x²+x-xlnx，由f（x）≥bx²+2x，得b≤1-

1

x

-

lnx

x

．
令g(x)=1-

1

x

-

lnx

x

，可得g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增．
∴g（x）_min=g（1）=0
即b≤0；
（3）由（Ⅱ）知g(x)=1-

1+lnx

x

在（0，1）上单调递减
∴

1

e

＜x＜y＜1时，g（x）＞g（y）
即

1+lnx

x

＜

1+lny

y

而

1

e

＜x＜y＜1时，-1＜lnx＜0，∴1+lnx＞0
∴

y

x

＜

1+lny

1+lnx

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分离变量法，训练了利用函数单调性比较不等式的大小是有一定难度题目．