Question

【题目】已知函数.

(1)讨论函数y=f(x)在∈(m，+∞)上的单调性；

(2)若，则当x∈[m，m+1]时，函数y= f(x)的图象是否总在函数图象上方?请写出判断过程.

Answer 1

【答案】(1) 在(m,m+1)上单调递减，在(m+1,+∞)上单调递增； (2)见解析.

【解析】

（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由(1)知在上单调递减，所以其最小值为.因为在上的最大值为.所以只需判断与的大小，其中.

(1) ，

当x∈(m,m+1)时，，当x∈(m+1，+∞)时，，

所以f(x)在(m,m+1)上单调递减，在(m+1,+∞)上单调递增.

(2)由(1)知f(x)在[m,m+1]上单调递减，

所以其最小值为.

因为在上的最大值为.

所以下面判断f(m+1)与的大小，即判断与(1+x)x的大小，其中.

令，则，

令，则，

因为，所以，单调递增，

所以，

故存在，使得.

所以k(x)在上单调递减，在上单调递增.

所以.

所以当时，，

即，也即，

所以函数y=f(x)的图象总在函数图象上方.