Question

如图，在由圆O：x²+y²=1和椭圆C：=1（a＞1）构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为，直线l与圆O相切于点M，与椭圆C相交于两点A，B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得•=，若存在，求此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆C：=1（a＞1）的离心率为，可得a²=3，从而可求椭圆C的方程；
（2）假设存在直线l，使得•=，当直线l垂直于x轴时，不符合题意，故设直线l方程为y=kx+b，由直线l与圆O相切，可得b²=k²+1，代入椭圆C的方程为，可得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），进而利用•=，即可知存在直线l．
解答：解：（1）∵椭圆C：=1（a＞1）的离心率为，
∴
解得：a²=3，所以所求椭圆C的方程为         （5分）
（2）假设存在直线l，使得•=，
当直线l垂直于x轴时，不符合题意，故设直线l方程为y=kx+b，
由直线l与圆O相切，可得b²=k²+1 …（1）（7分）
代入椭圆C的方程为，可得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0
设设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则，
∴==…（2）
由（1）（2）可得k²=1，b²=2
故存在直线l，方程为，使得•=．
点评：本题以椭圆的几何性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，同时考查了存在性问题，合理运用向量的数量积运算是解题的关键．