Question

1．判别下列函数的奇偶性．
（1）y=${x}^{-\frac{1}{3}}$+x³
（2）y=${x}^{\frac{4}{3}}$
（3）y=（x-3）^-3+${（x+1）}^{\frac{1}{2}}$
（4）y=${（x}^{4}-{3x}^{2}+1）^{-\frac{1}{2}}$．

Answer 1

分析 先求出函数的定义域，判断其是否关于原点对称，再比较f（-x）和f（x）的关系即可．

解答 解：（1）y=f（x）=$\frac{1}{\root{3}{x}}$+x³，定义域是{x|x≠0}，
f（-x）=-f（x），是奇函数；
（2）y=f（x）=${x}^{\frac{4}{3}}$=$\root{3}{{x}^{4}}$，定义域是R，
f（-x）=f（x），是偶函数；
（3）y=（x-3）^-3+${（x+1）}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{{（x-3）}^{3}}$+$\sqrt{x+1}$，
定义域是：{x|x≥-1且x≠3}，定义域不关于原点对称，
函数不具有奇偶性；
（4）y=f（x）=${（x}^{4}-{3x}^{2}+1）^{-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{4}-{3x}^{2}+1}}$，
由x⁴-3x²+1=${{（x}^{2}-\frac{3}{2}）}^{2}-\frac{5}{4}$＞0，解得：x∈（-∞，-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）∪（-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）∪（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞），
定义域关于原点对称，
f（-x）=f（x）是偶函数．

点评 本题考查了函数的奇偶性的定义，判断定义域关于原点对称是前提，本题是一道基础题．