Question

已知幂函数f（x）=x^α的图象经过点A（

1

2

，

2

）．
（1）求实数α的值；
（2）求证：f（x）在区间（0，+∞）内是减函数．

Answer 1

分析：（1）由于已知函数为幂函数，我们可以使用待定系数法进行求解，设出幂函数的解析式，再由幂函数的图象经过点A（

1

2

，

2

），构造关于a的方程，解方程即可得到实数α的值；
（2）根据（1）中所求的函数的解析式，我们求出函数的导函数的解析式，分析x∈（0，+∞）时，导函数值的符号，即可得到结论．

解答：解：（1）设幂函数的解析式为y=x^a，
又∵幂函数的图象经过点A（

1

2

，

2

）．
∴

2

=

1

2

^a，
解得a=-

1

2

（2）由（1）得y=x-

1

2

，
则y′=-

1

2

•x-

3

2

当x∈（0，+∞）时，y′＜0恒成立
故f（x）在区间（0，+∞）内是减函数．

点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，待定系数法，及幂函数的单调性，其中当已知函数的类型时，常用待定系数法求解函数的解析式．