Question

直三棱柱A₁B₁C₁-ABC，∠BCA=90°，D₁E₁分别是A₁B₁，A₁C₁的中点，若BC=CA=CC₁，则BD₁与AE₁所成角的余弦值为（　　）

• A、

  15

  10

• B、

  30

  15

• C、

  1

  2

• D、

  30

  10

Answer 1

分析：以B点为坐标原点，以BC，BA，BB₁方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，分别求出BD₁与AE₁的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出答案．

解答：解：以B点为坐标原点，以BC，BA，BB₁方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，
则∵D₁E₁分别是A₁B₁，A₁C的中点，
可得AE₁所在的直线即为直线AC₁，
设BC=BA=CC₁=1
则

BD1

=（0，

1

2

，1），

AE1

=（

1

2

，-

1

2

，1）
∴cos＜

BD1

，

AE1

＞=

BD1 • AE 1

|BD1|•| AE1|

=

30

10

故选D

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中建立空间坐标系，将异面直线的夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．