Question

（2012•贵州模拟）已知等比数列{a_n}中，a2=

∫

6 0

(2x-

3

2

)dx，a₃=243，若数列{b_n}满足b_n=log₃a_n，则数列{

1

bnbn+1

}的前n项和S_n=

n

2n+1

．

Answer 1

分析：先利用微积分基本定理求出a₂，进而求出其公比及通项，再利用对数的运算性质及裂项求和即可．

解答：解：∵a2=

∫

6 0

(2x-

3

2

)dx=(x2-

3x

2

)

|

6 0

=27，
设等比数列{a_n}的公比为q，则q=

a3

a2

=

243

27

=9，∴a1=

a2

q

=

27

9

=3，∴通项a_n=3×9^n-1=3^2n-1．
∴b_n=log₃a_n=log332n-1=2n-1，∴

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
故答案为

n

2n+1

．

点评：熟练掌握等比数列的通项公式、对数的运算性质、裂项求和及微积分基本定理是解题的关键．