Question

(Ⅰ)已知函数f(x)＝rx－x^r＋(1－r)(x＞0)，其中r为有理数，且0＜r＜1．求f(x)的最小值；

(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题：

设a₁≥0，a₂≥0，b₁，b₂为正有理数．若b₁＋b₂＝1，则≤a₂b₂；

(Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．

注：当a为正有理数时，有求导公式＝ax^a－1．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(Ⅰ)，令，解得． 　　当时，，所以在内是减函数； 　　当时，，所以在内是增函数． 　　故函数在处取得最小值． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当时，有，即① 　　若，中有一个为0，则成立； 　　若，均不为0，又，可得，于是 　　在①中令，，可得， 　　即，亦即． 　　综上，对，，为正有理数且，总有．② 　　(Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为： 　　设为非负实数，为正有理数． 　　若，则．③ 　　用数学归纳法证明如下： 　　(1)当时，，有，③成立． 　　(2)假设当时，③成立，即若为非负实数，为正有理数， 　　且，则． 　　当时，已知为非负实数，为正有理数， 　　且，此时，即，于是 　　＝． 　　因，由归纳假设可得 　　， 　　从而． 　　又因，由②得 　　 　　， 　　从而． 　　故当时，③成立． 　　由(1)(2)可知，对一切正整数，所推广的命题成立． 　　说明：(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对成立，则后续证明中不需讨论的情况．

提示：

本题主要考察利用导数求函数的最值，并结合推理，考察数学归纳法，对考生的归纳推理能力有较高要求．