Question

设直线. 若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：

①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；

② 对任意x∈R都有. 则称直线l为曲线S的“上夹线”．

（1）已知函数．求证：为曲线的“上夹线”．

（2）观察下图：

       根据上图，试推测曲线的“上夹线”的方程，并给出证明．

Answer 1

解：（1）由得，             

当时，，

此时，，

，所以是直线与曲线的一个切点；

当时，，

此时，，        

，所以是直线与曲线的一个切点；  

所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点；

对任意x∈R，，

所以    

因此直线是曲线的“上夹线”.

   （2）推测：的“上夹线”的方程为

①先检验直线与曲线相切，且至少有两个切点：

设：

 ，

令，得：（kZ）      

当时,

故：过曲线上的点（，）的切线方程为：

y－[]= [－（）]，

化简得：.

即直线与曲线相切且有无数个切点．

不妨设

②下面检验g（x）F（x）

g（x）－F（x）=

直线是曲线的“上夹线”．