Question

《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=

1

2

（弦×矢+矢²）．弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为

2π

3

，弦长等于9米的弧田．
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）

Answer 1

分析：（1）利用扇形的面积公式，计算扇形的面积，从而可得弧田的实际面积；
（2）按照上述弧田面积经验公式计算得

1

2

（弦×矢+矢²），从而可求误差．

解答：解：（1）扇形半径r=3

3

，…（2分）
扇形面积等于

1

2

αr2=

1

2

•

2π

3

•(3

3

)2=9π（m²）…（5分）
弧田面积=

1

2

αr2-

1

2

r²sin

2π

3

=9π-

27 3

4

（m²）…（7分）
（2）圆心到弦的距离等于

1

2

r，所以矢长为

1

2

r．
按照上述弧田面积经验公式计算得

1

2

（弦×矢+矢²）=

1

2

（9×

3 3

2

+

27

4

）=

27

4

（

3

+

1

2

）．…（10分）
∴9π-

27 3

4

-

27

4

（

3

+

1

2

）=1.51664798≈1.52（m²）…（12分）
按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米．

点评：本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．