Question

已知函数f(x)＝ax³＋bx²－3x在x＝±1处取得极值．

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；

(Ⅱ)求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f(x₁)－f(x₂)|≤4；

(Ⅲ)若过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，(1)＝(－1)＝0， 　　即 　　解得a＝1，b＝0． 　　∴f(x)＝x3－3x． 　　(Ⅱ)∵f(x)＝x3－3x，∴(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 　　当－1＜x＜1时，(x)＜0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数， 　　fmax(x)＝f(－1)＝2，fmin(x)＝f(1)＝－2 　　∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2， 　　都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)| 　　|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|＝2－(－2)＝4 　　(Ⅲ)(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 　　∵曲线方程为y＝x3－3x，∴点A(1，m)不在曲线上． 　　设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足 　　因，故切线的斜率为 　　， 　　整理得． 　　∵过点A(1，m)可作曲线的三条切线， 　　∴关于x0方程＝0有三个实根． 　　设g(x0)＝，则(x0)＝6， 　　由(x0)＝0，得x0＝0或x0＝1． 　　∴g(x0)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减． 　　∴函数g(x0)＝的极值点为x0＝0，x0＝1 　　∴关于x0方程＝0有三个实根的充要条件是 　　，解得－3＜m＜－2． 　　故所求的实数a的取值范围是－3＜m＜－2．