Question

已知函数f(x)=-

1

3

x3+x2+3x+a．
（1）求f（x）的单调减区间；
（2）若f（x）在区间[-3，4]上的最小值为

7

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，利用导数小于0，解不等式可求f（x）的单调减区间；
（2）由（1）可知函数的极值点，从而确定函数f（x）在区间[-3，4]上的单调性，将极小值与函数的端点函数值比较，即可求出f（x）在[-3，4]上的最小值，由此可求a的值．

解答：解：（1）∵f′（x）=-x²+2x+3，令f′（x）＜0，则-x²+2x+3＜0．
解得：x＜-1或x＞3．∴函数f（x）的单调减区间为（-∞，-1）和（3，+∞）．  …（6分）
（2）列表如下：

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）

∴f（x）在（-3，-1）和（3，4）上分别是减函数，在（-1，3）上是增函数．       …（8分）
又∵f(-1)=a-

5

3

，f(4)=a+

20

3

，
∴f（-1）＜f（4）．…（12分）
∴f（-1）是f（x）在[-3，4]上的最小值．
∴a-

5

3

=

7

3

．解得a=4．…（14分）

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的单调性及函数的最值，关键是利用导数小于0，求函数的单调减区间，掌握利用导数求函数最值的方法．