Question

设抛物线y²=2px（p为常数）的准线与X轴交于点K，过K的直线l与抛物线交于A、B两点，则

OA

•

OB

=

5

4

p2

．

Answer 1

分析：设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．设直线l：my=x+

p

2

．联立

my=x+ p 2 y2=2px

化为y²-2pmy+p²=0．由于直线l与抛物线相交于不同两点，得到△＞0，化为m²＞1．利用根与系数的关系y₁+y₂=2pm，y1y2=p2．再利用数量积运算可得

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=(my1-

p

2

)(my2-

p

2

)+y₁y₂，代入即可．

解答：解：如图所示，
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设直线l：my=x+

p

2

．
联立

my=x+ p 2 y2=2px

化为y²-2pmy+p²=0．
∵直线l与抛物线相交于不同两点，∴△＞0，化为m²＞1．
∴y₁+y₂=2pm，y1y2=p2．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=(my1-

p

2

)(my2-

p

2

)+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂-

pm

2

(y1+y2)+

p2

4

=(m2+1)•p2-

pm

2

•2pm+

p2

4

=

5

4

p2．
故答案为

5

4

p2．

点评：熟练掌握直线与抛物线相交问题转化方程联立得到关于一个未知数的一元二次方程得根与系数的关系、数量积得运算法则等是解题的关键．