题目内容
【题目】已知函数
，函数
.
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）若不等式
在
上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若
，求证不等式
.
【答案】(1) g(x)的增区间
，减区间
;(2) 
;(3)见解析.
【解析】试题分析：（1）根据导数的正负情况研究函数的单调性；（2）恒成立求参转化为
恒成立，求到研究函数单调性和最值；（3）转化为
在
上恒成立。通过求导研究函数单调性，求得函数最值。
（Ⅰ）g(x)的定义域为
， 
， 
当
时， 
在
上恒成立
所以g(x)的增区间
，无减区间当
时，令
得
令
得
所以g(x)的增区间
，减区间
.
（Ⅱ）
即
在
上恒成立
设
，考虑到
，在
上为增函数， 
，
当
时， 
， 
在
上为增函数， 
恒成立
当
时， 
， 
在
上为增函数
，在
上， 
， 
递减，
，这时不合题意， 综上所述， 
（Ⅲ）要证明在
上， 
只需证明
，由（Ⅱ）当a =0时，在
上， 
恒成立， 再令
， 在
上， 
， 
递增，所以
即
，相加，得
，所以原不等式成立.
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