Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f(x)=log

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(x+1)．
（1）求f（0），f（-1）；
（2）求函数f（x）的表达式；
（3）若f（a-1）-f（3-a）＜0，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数解析式和奇偶性，求得f（0）和f（1）的值．
（2）令x＜0，则-x＞0，从而有f(-x)=log

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(-x+1)=f(x)得到x＜0时的解析式．最后两段写成分段函数的形式．
（3）易知f(x)=log

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(x+1)在[0，+∞）上为减函数，将“f（a-1）＜f（3-a）”转化为f（|a-1|）＞f（|3-a|）利用在（0，+∞）上的单调性求解．

解答：解：（1）f（0）=0（2分）f（-1）=f（1）=-（14分）
（2）令x＜0，则-x＞0f(-x)=log

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(-x+1)=f(x)
∴x＜0时，f(x)=log

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(-x+1)（8分）
∴f(x)=

log 1 2 (x+1)，(x≥0) log 1 2 (-x+1)，(x＜0)

（10分）
（3）∵f(x)=log

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(x+1)在[0，+∞）上为减函数，
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数．
由于f（a-1）＜f（3-a）
∴|a-1|＞|3-a|（14分）
∴a＞2．（16分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合运用，还考查了分段函数求解析式以及转化思想．