Question

已知数列{a_n}满足a1=

4

3

，2-an+1=

12

an+6

(n∈N*)，则

n

i=1

1

ai

=

2•3n-n-2

4

．

Answer 1

分析：由a1=

4

3

，2-an+1=

12

an+6

(n∈N*)，知a_n+1=

2an

an+6

，由此得到

1

an+1

+

1

4

=3（

1

an

+

1

4

），从而推导出

1

an

=3^n-1-

1

4

，由此能求出

n

i=1

1

ai

．

解答：解：∵a1=

4

3

，2-an+1=

12

an+6

(n∈N*)，
∴a_n+1=

2an

an+6

，
∴

1

an+1

=

an+6

2an

=

3

an

+

1

2

，
∴

1

an+1

+

1

4

=3（

1

an

+

1

4

），即

1 an+1 + 1 4

1 an + 1 4

=3，
∴

1 an + 1 4

1 a1 + 1 4

=3^n-1，即

1

an

+

1

4

=3^n-1，
∴

1

an

=3^n-1-

1

4

，
∴

n

i=1

1

ai

=（3⁰+3+3²+…+3^n-1）-

n

4

=

1×(1-3n)

1-3

-

n

4

=

2•3n-n-2

4

．
故答案为：

2•3n-n-2

4

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想、构造法、等比数列性质的合理运用．