题目内容

已知函数f(x)=x3-x(a∈R，a≠0)．

(Ⅰ)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)曲线y=f(x)在点(，f())处的切线恒过y轴上一个定点，求此定点坐标；

(Ⅲ)若a＞0，x1＞，曲线y=f(x)在点(x1，f(x1))处的切线与x轴的交点为(x2，0)，试比较x1与x2的大小，并加以证明．

解：(Ⅰ)f′(x)=-1

当a＜0时，f′(x)= -1＜0，所以f(x)在R上是减函数；

当a＞0时，解-1＞0,得x＞或x＜；

解-1＜0，得＜x＜，

所以，区间(，)为f(x)的减区间，区间(-∞，)和(，+∞)为f(x)的增区间.)

(Ⅱ)在点(，f())处曲线切线的斜率为-1，

切线方程为y-(3-)=(-1)(x-)，

令x=0，可得了y=-6，

所以切线恒过定点(0，-6)．

(Ⅲ)点（x1,f(x1)）处曲线的切线方程为

y-(-x1)=(-1)(x-x1)，

令y=0，得x2=,

x2-x1=-x1=,

因为a＞0，x1＞，所以x1＞0.9-a＞0，

a-3＜0,

所以＜0，所以x2＜x1．


练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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