Question

（本小题满分12分）已知函数．
（1）当时，证明函数只有一个零点；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围

Answer 1

(1) 略．
(2)

解：（Ⅰ）当时，，其定义域是………1分
∴                  ………………………2分  
令，即，解得或．
，∴ 舍去．                         …………………3分
当时，；当时，．
∴ 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减
∴ 当x =1时，函数取得最大值，其值为．
当时，，即．
∴ 函数只有一个零点．                      ………………………6分 
（Ⅱ）显然函数的定义域为
∴ ……………7分
①当时，在区间
上为增函数，不合题意………9分
②当时，等价于，即
此时的单调递减区间为．
依题意，得解之得．                    …………………9分
当时，等价于，即
此时的单调递减区间为，
∴    得            ………………………11分
综上，实数的取值范围是
         ………………………12分
法二：
①当时，
在区间上为增函数，不合题意……………7分
②当时，要使函数在区间上是减函数，
只需在区间上恒成立，只要恒成立，
解得或                  ………………………11分
综上，实数的取值范围是
        ………………………12分